Ну естественно, если вы рожаете за рубежом, то и все бумажки у вас будут зарубежные

Раньше в случае когда родители россияне - просто обращались с имеющимися бумагами в консульство - где и получали свидетельство о рождении, уже российское.
Думаю, все эти нюансы стоит уточнить именно там. С двойным гражданством проблем сейчас ни с эквадорской ни с российской стороны нет так что узнавать всё можно спокойно и открыто. И лучше из первых рук